学习就是学习,不该带着情绪。

——Sion

楔子

本文从属于紫晶·铁石计划,取其精华,弃其糟粕。前面文字为草稿,最后的pdf为终稿。

“咄!秦时𨍏轹钻!”

极限、微分、积分是高等数学的基本功,地基夯实了,才能运斤成风。

前置

这一部分主要是阐述不定积分的基本定义。

基本定义

简单来说,积分就是导数的逆运算,已知导数,,来求其原函数。严格定义如下:

在区间I上,函数f(x)f(x)的带有任意常数项[1]的原函数称为f(x)f(x)在I上的不定积分

f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C

为了更好地理解,再看一下微分的定义式:dF(x)=F(x)dxdF(x)=F'(x)dx,可以看出微分运算符就是对后面进行微分运算,微分变量是dxdx,而积分运算符就是对后面进行积分运算积分对象是dxdx,(读起来像是一通废话,但后面用到分部积分法时,就会有深刻体会了。)

是的,我已经不再讨厌分部积分法了,学习怎么能带情绪,能有歧视链呢?(实际上是表格法在做某些题的时候,列不到头,越写越难,就像个傻子一样,然后就对前者少了些蔑视。)

基本性质

  1. 与导数的关系

    {f(x)dx}=f(x)df(x)dx=f(x)dx\{ \int f(x)dx\}'=f(x)\Longrightarrow d\int f(x)dx=f(x)dx

    这个性质在求极限时用的多。

  2. 任意常数等同

    f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C

  3. 加减可拆

    f(x)±g(x)dx=f(x)±g(x)dx\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x) \pm \int g(x)dx

  4. 常系数提出

    kf(x)dx=kf(x)dxk0\int k f(x)dx= k\int f(x)dx\qquad k\ne0

计算法

这大概是高等数学里面最最杂乱的地方了,计算方法数不胜数,千奇百怪,意想不到。而且还有很多看着很简单,但却是降维过来的东西[^lnx]。这里就把课本上的基本方法整理一下吧。

基本积分公式

xadx=1a+1xa+1+C1xdx=lnx+C1xlnadx=logax+Cexdx=ex+Caxdx=axlna+C11+x2dx=arctanx+C11+x2dx=arccotx+C11x2dx=arcsinx+C11x2dx=arccosx+Csinxdx=cosx+Ccosxdx=sinx+Csec2xdx=tanx+Ccsc2xdx=cotx+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=cscx+C\begin{aligned} \int x^a dx &= \frac{1}{a+1} x^{a+1}+C\\ \int \frac{1}{x}dx &=\ln |x| +C\Longrightarrow \int \frac{1}{x\ln a} dx =\log_a|x| +C\\ \int e^xdx &=e^x +C \Longrightarrow \int a^xdx =\frac{a^x}{\ln a} +C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx &=\arctan x +C \Longrightarrow \int -\frac{1}{1+x^2}dx =\text{arccot} x +C\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx &=\arcsin x +C\Longrightarrow \int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx =\arccos x +C\\ \int \sin xdx &= -\cos x+C\\ \int \cos xdx &=\sin x +C\\ \int \sec^2 xdx &= \tan x+C\\ \int \csc^2xdx &= -\cot x+C\\ \int \sec x\cdot \tan x dx &=\sec x +C\\ \int \csc x\cdot \cot x dx &=-\csc x +C\\ \end{aligned}


重积分 通过概括总结重积分的概念以及奇技淫巧,来更加有效的会学、会用重积分。

重积分概念

咳咳,同学们,现在开始上课,请把书翻到135面,今天我们开始讲新的一章:重积分,我们先假设有一个立方体,它的底是xOyxOy平面上的闭区域DD,高为h,那么它的体积就是… 😪💤💤💤💤

欸!欸!欸!怎么都睡了,好好好,现在我换一个方法讲

我们可以这样快速理解二重积分:(零重积分)求和=距离,(一重)定积分=面积,二重积分=体积,三重积分=超体积[1:1],四重积分=超超体积,…,n重积分=宇宙无敌超超超超…超体积

说白了还是微分的思想,是把一个大的不能直接求出来的东西分解成若干个(大多数时候是无限)小的可求的东西,然后再加起来,求和。这种思想看起来很朴素,但数学家们却偏偏从这里面推导了许多运算规律,结果就直接影响人类几个世纪。

不行,这样写,根本就是浪费时间啊。还是取其精华,弃其糟粕吧。

二重积分定义式:

Df(x,y)dσ=limλ0i=1nf(ξi,ηi)Δσi=Df(x,y)dxdy\iint_{D}f(x,y)dσ=\lim_{λ\to0}\sum_{i=1} ^{n} f(\xi_i,\eta_i)\Delta σ_i=\iint_{D}f(x,y)dxdy

其中D为积分区域f(x,y)f(x,y)被积表达式dσ面积元素x,yx,y积分变量

三重积分定义式:

Ωf(x,y,z)dv=limλ0i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta v_{i}

其中dvdv体积元素

二重积分性质

函数可加性

能拆则拆, 跟定积分一样,加和可以拆分开。

D[af(x,y)+bg(x,y)]dσ=aDf(x,y)dσ+bDg(x,y)dσ\iint_{D}[a f(x, y)+b g(x, y)] d \sigma = a \iint_{D} f(x, y) d \sigma+b \iint_{D} g(x, y) d \sigma

区域可加性

设积分区域D 可以划分为D1D_1D2D_2,则有:

Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\iint_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint_{D_{2}} f(x, y) d \sigma

几何意义

高为一时(f(x,y)1f(x,y)≡1),则二重积分代表的体积(V)与面积(A)在数值上相等

D1dσ=A\iint_D 1 d \sigma=A

有界性

设在D 上mf(x,y)Mm\leqslant f(x,y) \leqslant M,D 的面积为A,则有

mADf(x,y)dσMAm A \leqslant \iint_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant M A

中值定理

如果ƒ (x, y) 在闭区域D 上连续,D 的面积为A,则在D 中至少存在一点(ξ, η),使得

Df(x,y)dσ=f(ξ,η)A\iint_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A

奇偶对称性

积分区域D关于x轴对称时,若关于y是奇函数,则值为零,偶函数则倍之。

积分区域D关于y轴对称时,若关于x是奇函数,则值为零,偶函数则倍之。

对称性例题

轮换对称性

若把 xxyy 对调后, 区域 DD 不变 (或区域 DD 关于 y=xy=x 对称), 则

Df(x,y)dσ=Df(y,x)dσ,\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} f(y, x) \mathrm{d} \sigma,

往往是把对称的两者相加来简化计算

二重积分计算法

重头戏来了,在考研数二数三中这道题14分,占比10%。

直角坐标法

当两侧边界为垂直于坐标轴的直线时,可以使用此法。

两侧边界垂直于y轴,积分区域如下:

D={(x,y)axb,ϕ1(x)yϕ2(x)}D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, \phi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \phi_{2}(x)\right\}

X型

那么,就可以用下面公式进行计算:

Df(x,y)dσ=abA(x)dx=ab[ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]dx\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{a}^{b}{\color{blue} A(x)} d x=\int_{a}^{b}\left[{\color{blue}\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(x, y) d y}\right] d x

两侧边界垂直于x轴,积分区域如下:

D={(x,y)ayb,ϕ1(y)xϕ2(y)}D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant y \leqslant b, \phi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \phi_{2}(y)\right\}

此处脑补:y型.jpg

那么,就可以用下面公式进行计算:

Df(x,y)dσ=cdB(y)dy=cd[ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx]dy\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{c}^{d}{\color{blue} B(y)} d y=\int_{c}^{d}\left[{\color{blue}\int_{\phi_{1}(y)}^{\phi_{2}(y)} f(x, y) d x}\right] d y

当东西南北都为两对垂直于坐标轴的直线时,积分区域可以表示为

D={(x,y)axb,cyd}D=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}

当被积函数为常数k时,直接k(ba)(dc)k(b-a)(d-c)就行了,

当被积函数可分离变量时,即f(x,y)=g(x)h(y)f(x,y)=g(x)h(y),则可以:

Df(x,y)dσ=(abg(x)dx)(cdh(y)dy)\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\left(\int_{a}^{b} g(x) d x\right)\left(\int_{c}^{d} h(y) d y\right)

极坐标法

熟练掌握极坐标,拉开差距。

回顾

  1. 直角坐标与极坐标的关系
(ρ,θ)(x,y)(\rho,\theta)\to (x,y) (x,y)(ρ,θ)(x,y)\to(\rho,\theta)
x=ρcosθx=\rho \cos \theta ρ2=x2+y2\rho^2=x^2+y^2
y=ρsinθy=\rho \sin \theta θ=arctan(yx)\theta =\arctan(\frac{y}{x})
  1. 常见极坐标方程
  • 圆:

    (1)圆心在极点, 半径为 rr 的圆: ρ=r\rho=r (2) 圆心为 M(a,0)M(a, 0), 半径为 aa 的圆: ρ=2acosθ\rho=2 a \cos \theta (3) 圆心为 M(a,π2)M\left(a, \frac{\pi}{2}\right), 半径为 aa 的圆: ρ=2asinθ\rho=2 a \sin \theta

  • 直线

    (1)直线过极点, 直线的倾斜角为 α:θ=α(ρR)\alpha: \theta=\alpha(\rho \in \mathbf{R}) (2)直线过点 M(a,0)M(a, 0), 且垂直于极轴: ρcosθ=a\rho \cos \theta=a (3)直线过点 M(a,π2)M\left(a, \frac{\pi}{2}\right), 且平行于极轴: ρsinθ=a\rho \sin \theta=a

  • 圆锥曲线

    (1)椭圆:1ρ2=cos2θa2+sin2θb2\frac{1}{\rho^{2}}=\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}} + \frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}

    (2)双曲线:1ρ2=cos2θa2sin2θb2\frac{1}{\rho^{2}}=\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}} - \frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}

    (3)统一形式ρ=ep1ecosθ\rho=\frac{e p}{1-e \cos \theta}

应用

值得注意的是,当积分区域为圆盘或圆盘一部分时,即D={(ρ,θ)αθβ,ϕ1(θ)ρϕ2(θ)}\color{purple}D=\left\{(\rho, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, \phi_{1}(\theta) \leq \rho \leq \phi_{2}(\theta)\right\},用极坐标更为简便:

Df(x,y)dσ=Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\iint_{D} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho d \theta

圆盘区域

具体步骤就是:先找到θ\theta的范围,再求ρ\rho的函数

比较复杂的例题

奇技淫巧

三重积分计算法

切薯条法(先一后二)

先沿一个方向进行积分,再进行二重积分,可以类比二重积分中的直角坐标法,

当积分区域可以表示为:Ω={(x,y,z)(x,y)Dxyz1(x,y)zz2(x,y)}\color{purple}\Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{x y}\right. \left.z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y)\right\}

切薯条

可以用下式计算三重积分:

Ωf(x,y,z)dv=Dxy[z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iint_{D_{x y}}\left[\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right] d x d y

切薯片法(先二后一)

跟前面的方法反过来,当积分区域可以表示为:Ω={(x,y,z)c1zc2, (x,y)Dz}\color{purple} \Omega=\{(x, y, z) c_1 \leqslant z \leqslant c_2, \ (x, y) \in D_{z} \}

切薯片

可以这样计算三重积分:

Ωf(x,y,z)dv=C1c2[Dzf(x,y,z)dxdy]dz\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\int_{C_{1}}^{c_{2}}\left[\iint_{D_{z}} f(x, y, z) d x d y\right] d z

极坐标法

无需多言,就多了个z罢了

极坐标计算三重积分

Ωf(x,y,z)dv=Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iiint_{\Omega} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho d \rho d \theta d z

无法直接求导的常见函数:

当遇到这种情况时,就用技巧吧,三角变换交换积分次序极坐标法

sinxxdx cosxxdx tanxxdx exxdx\int \frac{\sin x}{x} d x\ \int \frac{\cos x}{x} d x \ \int \frac{\tan x}{x} d x\ \int \frac{e^{x}}{x} d x

sinx2dx cosx2dx tanx2dx dxlnx\int \sin x^{2} d x\ \int \cos x^{2} d x\ \int \tan x^{2} d x\ \int\frac{dx}{lnx}

eax2+bx+cdx(ex2dx;ex2dx)\int e^{a x^{2}+b x+c} d x\quad\left(e^{x^{2}} d x ; \int e^{-x^{2}} d x\right)

积分

overflow-hidden rounded" style="height: 90vh;">

  1. 把第三个变量换做密度的话,亦可类比成物理学上的质量。 ↩︎ ↩︎